Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Линейные и полилинейные операторы

1. Определения и примеры.

Начнем с того, что напомним следующее

Определение 1. Если X и К — линейные пространства над одним и тем же полем (в нашем случае полем или ), то отображение называется линейным, если для любых векторов пространства X и любого числа поля коэффициентов имеют место равенства

Для линейного оператора вместо часто пишут

Определение 2. Отображение прямого произведения линейных пространств в линейное пространство У называется полилинейным (-линейным), если это отображение линейно по каждой переменной при фиксированных значениях остальных переменных.

Множество - линейных отображений будет, обозначаться символом

В частности, при получаем множество 35 (X; Y) линейных отображений в .

При полилинейное отображение называется билинейным, при — трилинейным и т. д.

Не следует смешивать -линейное отображение и линейное отображение линейного пространства (см. в этой связи примеры 9—11).

Если или то линейные и полилинейные отображения называют чаще линейными или соответственно полилинейными функциями (или функционалами, если отображаются пространства функций). Когда же — произвольное линейное пространство, линейное отображение чаще называют линейным оператором, действующим из пространства X в пространство

Рассмотрим некоторые примеры линейных отображений.

Пример 1. Пусть — линейное пространство числовых финитных последовательностей. Оператор определим следующим, образом:

Пример 2. Функционал определим соотношением

где фиксированная точка отрезка

Пример 3. Функционал определим, соотношением

Пример 4. Преобразование определим формулой

где х — точка, пробегающая отрезок

Все это, очевидно, линейные отображения.

Рассмотрим некоторые знакомые примеры полилинейных отображений.

Пример 5. Обычное произведение действительных чисел является типичным примером -линейной функции

Пример 6. Скалярное произведение в евклидовом векторном пространстве над полем К является билинейной функцией

Пример 7. Векторное произведение векторов трехмерного евклидова пространства является билинейным оператором, т. е.

Пример 8. Если X — конечномерное векторное пространство над полем -базис в — координатное

представление вектора то, полагая

получаем -линейную функцию

В качестве полезного дополнения к приведенным примерам разберем еще устройство линейных отображений произведения линейных пространств в произведение линейных пространств.

Пример 9. Пусть — линейное пространство, являющееся прямым произведением линейных пространств и пусть — линейное отображение X в линейное пространство У. Представляя каждый вектор

и полагая для

мы замечаем, что суть линейные отображения и что

Поскольку при любых линейных отображениях определяемое формулой (3) отображение очевидно, линейно, то мы показали, что формула (3) дает общий вид любого линейного отображения Пример 10. Исходя из определения прямого произведения линейных пространств и определения линейного отображения легко видеть, что любое линейное отображение

имеет вид где — линейные отображения.

Пример 11. Объединяя примеры 9 и 10, заключаем, что любое линейное отображение

прямого произведения линейных пространств в другое прямое произведение линейных пространств имеет вид

где — линейные отображения.

В частности, если то суть линейные отображения каждое из которых задается одним числом Таким образом, в этом случае соотношение (4) превращается в знакомую численную запись линейного отображения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление