Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Частные производные отображения.

Пусть — окрестность точки в прямом произведении нормированных

пространств и пусть отображение нормированное пространство . В этом случае

и значит, фиксировав в (13) все переменные, кроме одной переменной положив мы получим функцию

определенную в некоторой окрестности точки -пространства

Определение 3. Отображение по отношению к исходному отображению (13) называют частным отображением по переменной в точке а .

Определение 4. Если отображение (14) дифференцируемо в точке то его производная в этой точке называется частной производной или частным дифференциалом отображения точке а по переменной

Эту частную производную обозначают обычно одним из символов

В соответствии с этими определениями точнее,

Дифференциал отображения (13) в точке а (если дифференцируемо в точке а) часто в рассматриваемой ситуации называют полным дифференциалом, чтобы отличить его от частных дифференциалов по отдельным переменным.

Ранее все эти понятия нам уже встречались в случае вещественнозначных функций вещественных переменных, поэтому мы не будем здесь подробно их обсуждать. Отметим только, что, повторив прежние рассуждения, с учетом разобранного в § 2 примера 9, легко доказать, что и в общем случае справедливо следующее

Утверждение 3. Если отображение (13) дифференцируемо в точке то оно имеет в этой точке частные дифференциалы по каждой из переменных, причем полный дифференциал и частные дифференциалы связаны соотношением

где

На примере числовых функций мы уже уяснили себе, что наличие частных дифференциалов, вообще говоря, не гарантирует дифференцируемости функции (13).

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление