Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Производные отображения высших порядков

1. Определение n-го дифференциала.

Пусть — открытое множество в нормированном пространстве X, а

— отображение в нормированное пространство

Если отображение (1) дифференцируемо в то в определено производное от отображение

Пространство является нормированным пространством, по отношению к которому отображение (2) имеет вид (1), т. е. и можно поставить вопрос о его дифференцируемости.

Если отображение (2) дифференцируемо, то его производное отображение

называют вторым производным отображением или вторым дифференциалом от и обозначают символом или . И вообще принимается следующее индуктивное

Определение 1. Производным отображением порядка или дифференциалом отображения (1) в точке называется отображение, касательное в этой точке к производному отображению порядка от

Если производное отображение порядка в точке обозначать символом то определение 1 означает, что

Таким образом, если определено, то

Следовательно, на основании утверждения 4 из § 2 дифференциал порядка отображения (1) в точке х можно интерпретировать как элемент пространства

-линейных непрерывных операторов.

Отметим еще раз, что касательное отображение есть отображение касательных пространств, каждое из которых, благодаря аффинной или линейной структуре отображаемых пространств, мы отождествляли с соответствующим линейным пространством и говорили на этом основании, что Именно это рассмотрение элементов различных пространств как векторов одного и того же пространства X (X; У) лежит в основе определений высших дифференциалов отображения нормированных пространств. В случае аффинного или линейного пространства имеется естественная связь между векторами различных касательных пространств, соответствующих различным точкам исходного пространства. Эта связь в конечном счете и позволяет в данном случае говорить как о непрерывной дифференцируемости отображения (1), так и о его высших дифференциалах.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление