Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Симметричность дифференциалов высшего порядка.

В связи с формулой (10), уже вполне пригодной для вычислений, естественно возникает вопрос о том, в какой мере результат вычислений зависит от указанного порядка дифференцирования.

Утверждение. Если для отображения (1) форма в точке х определена, то она симметрична относительно любой пары своих аргументов.

Основным элементом доказательства является проверка справедливости этого утверждения в случае

Пусть — два произвольных филированных вектора пространства Поскольку V открыто в X, при всех достаточно близких к нулю значениях определена следующая вспомогательная функция от

Рассмотрим еще одну вспомогательную функцию

заведомо определенную для векторов у, коллинеарных вектору и таких, что

Заметим, что

Заметим также, что коль скоро функция в точке имеет второй дифференциал она обязана бытьдифференцируема по крайней мере в некоторой окрестности точки х. Мы будем считать, что параметр настолько мал, что аргументы в правой части определяющего функцию равенства лежат в указанной окрестности точки х.

Воспользуемся этими замечаниями и следствием теоремы о конечном приращении в следующих выкладках:

По определению производного отображения можно записать, что

и

при . Учитывая это, предыдущую выкладку можно продолжить и после арифметических упрощений получить, что

при Но это равенство означает, что

Поскольку, очевидно, то отсюда уже следует, что

Завершить доказательство утверждения теперь можно по индукции дословно так же, как это было сделано при доказательстве независимости значения смешанных частных производных от порядка выполнения дифференцирования.

Итак, показано, что дифференциал отображения (1) в точке есть -линейный симметрический оператор

значение которого на наборе векторов может быть вычислено по формуле (10).

Если X — конечномерное пространство, —базис в X и разложение векторов по этому базису, то в силу полилинейности можно записать, что

или, используя прежние обозначения для можно окончательно получить, что

где в правой части, как обычно, имеется в виду суммирование по повторяющимся индексам в пределах их изменения, т. е. от 1 до

Условимся в следующем сокращении:

В частности, если речь идет о конечномерном пространстве X и то

что нам уже хорошо знакомо из теории числовых функций многих переменных.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление