Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Замена переменных в кратном интеграле

1. Постановка вопроса и эвристический вывод формулы замены переменных.

Рассматривая интеграл в одномерном случае, мы получили в свое время важную формулу замены переменной в таком интеграле. Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти формулу замены переменных в общем случае. Уточним вопрос.

Пусть — множество в — интегрируемая на функция, а — отображение множества на Спрашивается, по какому закону, зная находить функцию так, чтобы иметь равенство

позволяющее сводить вычисление интеграла по к вычислению интеграла по

Предположим сначала, что есть промежуток — диффеоморфное отображение этого промежутка на

Любому разбиению Р промежутка I на промежутки соответствует разложение на множества Если все эти множества измеримы и пересекаются попарно лишь по множествам меры нуль, то в силу аддитивности интеграла

Если непрерывна на то по теореме о среднем

где Поскольку где то нам остается связать

Если бы было линейным преобразованием, то был бы параллелепипед, объем которого, как известно из аналитической геометрии и алгебры, был бы равен Но диффеоморфизм локально является почти линейным отображением, по этому, если размеры промежутков достаточно малы, то с малой относительной погрешностью можно считать, что (можно показать, что при некотором выборе точки будет иметь место даже точное равенство). Таким образом,

Но справа в этом приближенном равенстве стоит интегральная сумма от функции по промежутку отвечающая разбиению Р этого промежутка с отмеченными точками . В пределе при из (1) и (2) получаем

Это и есть искомая формула. Намеченный путь к ней можно пройти со всеми обоснованиями, однако чтобы избежать утомительных технических трудностей, мы в дальнейшем доказательстве кое в чем отклонимся от этого пути.

Перейдем к точным формулировкам. Напомним

Определение 1 Носителем заданной в области функции назовем замыкание в множества тех точек области в которых

В этом параграфе мы рассмотрим ситуацию, когда интегрируемая функция равна нулю в окрестности границы области точнее, когда носитель функции (обозначаемый

является лежащим в компактом Интегралы от по и по если они существуют, очевидно, совпадают, по скольку вне в функция равна нулю. С точки зрения отображений, условие равносильно тому, что замена действует не только на множестве по которому в сущности и надо интегрировать, но и в некоторой окрестности этого множества.

Теперь сформулируем, что мы собираемся доказать.

Теорема 1. Если — диффеоморфизм ограниченного открытого множества на такое же множество — компакт в то и справедлива формула

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление