Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Аддитивность интеграла и завершение доказательства формулы замены переменных в интеграле.

Леммы 3 и 4 наводят на мысль воспользоваться возможностью локального разложения любого диффеоморфизма в композицию простейших (см. утверждение 2 из п. 4 § 6 гл. VIII часть ) и на этом пути получить в общем случае формулу (3).

Сводить интеграл по множеству к интегралам по малым окрестностям его точек можно по-разному. Например, можно воспользоваться аддитивностью интеграла. Так мы и поступим. Опираясь на леммы 1, 3, 4, проведем теперь доказательство теоремы 1 о замене переменных в кратном интеграле.

Для каждой точки компакта построим такую ее (-окрестность в которой диффеоморфизм раскладывается в композицию простейших. Из точек выделим конечное покрытие компакта Пусть Тогда любое множество, диаметр которого меньше чем и которое пересекается с очевидно, содержится вместе со своим замыканием хотя бы в одной из окрестностей системы

Пусть теперь — промежуток, содержащий множество такое разбиение промежутка что где число найдено выше, расстояние от до границы множества Пусть — те промежутки разбиения Р, которые имеют с непустое пересечение. Ясно, что если то и

Образ промежутков по лемме 1 является измеримым множеством. Тогда и множество измеримо, и Используя аддитивность интеграла, отсюда

выводим, что

По построению любой промежуток содержится в некоторой окрестности в пределах которой диффеоморфизм раскладывается в композицию простейших. Значит, на основании лемм 3 и 4 можно записать, что

Сопоставляя соотношения (6), (7), (8), получаем формулу (3).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление