Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Начальные сведения о дифференциальных формах

Дадим теперь первоначальные представления об удобном математическом аппарате дифференциальных форм, обращая здесь основное внимание на его алгоритмические возможности, а не на подробности теоретических конструкций, которые будут изложены в гл. XV.

1. Дифференциальная форма, определение и примеры.

Из курса алгебры читателю хорошо известно понятие линейной формы, и мы этим понятием уже широко пользовались при построении дифференциального исчисления. Там главным образом встречались симметрические формы. Здесь же речь будет о кососимметрических (антисимметрических) формах.

Напомним, что форма степени или порядка определенная на упорядоченных наборах векторов линейного пространства X и принимающая значения в линейном пространстве называется кососимметрической (антисимметрической), если значение формы меняет знак при перестановке местами любой пары ее аргументов, т. е.

В частности, если то независимо от остальных векторов значение формы будет равно нулю.

Пример 1. Векторное произведение векторов пространства есть билинейная кососимметрическая форма со значениями в линейном пространстве

Пример 2. Определенный формулой (1) § 4 ориентированный объем параллелепипеда; натянутого на векторы пространства является кососимметрической вещественнозначной формой в

Нас будут пока интересовать вещественнозначные формы (случай хотя все излагаемое ниже применимо и в более общей ситуации, например, когда есть поле С комплексных чисел.

Линейная комбинация кососимметрических форм одной степени в свою очередь является кососимметрической формой, т. е. кососимметрические формы одной степени образуют линейное пространство.

В алгебре вводится, кроме того, операция а внешнего умножения кососимметрических форм, которая упорядоченной паре таких форм (степени соответственно) сопоставляет кососимметрическую форму степени Эта операция

ассоциативна:

дистрибутивна: ,

косокоммутативна:

В частности, если речь идет об -формах А и В, то имеет место антикоммутативность операции, подобная

антикоммутативности упомянутого в примере 1 векторного произведения, обобщением которого и является внешнее умножение форм.

Не вникая в детали общего определения внешнего произведения, примем пока к сведению перечисленные свойства этой операции и отметим, что в случае внешнего произведения -форм результат есть -форма, которая на наборе векторов принимает значение

Если соотношение (1) принять в качестве определения его левой части, то из свойств определителей легко следует, что в случае линейных -форм А, В, С действительно:

Рассмотрим несколько полезных для дальнейшего примеров.

Пример 3. Пусть — проекторы. Точнее, линейная функция такова, что на любом векторе она принимает значение проекции этого вектора на соответствующую координатную ось. Тогда в соответствии с формулой (1) получаем

Пример 4. Декартовы координаты векторного произведения векторов евклидова пространства как известно, определяются из равенства

Таким образом, в соответствии с результатом примера 3 можно записать, что

Пример — определенная в некоторой области и дифференцируемая в точке функция. Как известно, дифференциал функции в точке является линейной функцией, определенной на векторах 1 смещения от этой точки, точнее, на векторах пространства касательного к в рассматриваемой точке. Напомним, что если — координаты в то

В частности, или, более формально,

Если — определенные в и дифференцируемые в точке вещественнозначные функции, то в соответствии с формулой (1) в точке на наборе векторов пространства получаем

и, в частности,

Таким образом, из линейных форм определенных на линейном пространстве получились определенные на этом же пространстве кососимметрические формы степени

Пример 6. Если где — область в то в любой точке лей определен дифференциал функции который, как было сказано, является линейной функцией на линейном пространстве касательном к в точке х. При переходе от точки к точке в области форма вообще говоря, меняется. Итак, гладкая скалярная функция порождает в каждой точке области линейную форму или, как говорят, порождает в поле линейных форм, определенных на соответствующих касательных пространствах

Определение 1. Будем говорить, что в области задана вещественнозначная дифференциальная -форма , если в каждой точке определена кососимметрическая форма

Число обычно называют степенью или порядком дифференциальной -формы .

Таким образом, рассмотренное в примере 6 поле дифференциала гладкой функции есть дифференциальная -форма в области есть простейший пример дифференциальной формы степени .

Пример 7. Пусть в области задано векторное поле, т. е. с каждой точкой связан вектор При наличии евклидовой структуры в это векторное поле порождает следующую дифференциальную -форму

Если — вектор, приложенный к точке то положим

Из свойств скалярного произведения вытекает, что в каждой точке действительно является линейной формой.

Такие дифференциальные формы возникают очень часто. Например, если непрерывное силовое поле в области вектор малого смещения от точки то элементарная работа поля, отвечающая такому смещению, как известно из физики, определяется именно величиной

Итак, поле сил в области евклидова пространства естественным образом порождает в дифференциальную -форму которую в этом случае естественно назвать формой работы поля

Заметим, что в евклидовом пространстве дифференциал гладкой в области функции тоже можно считать -формой, порожденной векторным полем, которым в данном случае является поле . В самом деле, ведь по определению вектор таков, что для любого вектора имеет место равенство

Пример 8. Заданное в области евклидова пространства векторное поле может также следующим образом порождать дифференциальную форму степени Если в точке взять соответствующий ей вектор поля и еще векторов приложенный к точке х, то ориентированный объем параллелепипеда, натянутого на векторы равный определители) матрицы, строки которой состоят из координат этих векторов, очевидно, будет кососимметрической -формой по переменным

При форма есть обычное смешанное произведение векторов, из которых один задан, а тогда по двум оставшимся аргументам получается кососимметрическая -форма

Например, если в облает имеется установившееся течение жидкости и — вектор скорости течения в точке то величина есть элементарный объем жидкости, которая протекает за единицу времени через натянутую на малые векторы площадку (параллелограмм). Выбирая по-разному векторы мы будем получать различные по конфигурации и расположению в пространстве площадки (параллелограммы), одной из вершин которых является точка х. Для каждой такой площадки будет, вообще говоря, свое значение формы Как было сказано, оно показывает, сколько жидкости протекло за единицу времени через данную площадку, т. е. характеризует расход жидкости или поток через выбранную элементарную площадку. По этой причине форму со, как, впрочем, и ее многомерный аналог часто называют формой потока векторного поля V в области

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление