Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Интегралы первого и второго рода.

В ряде задач, типичным представителем которых является рассмотренная выше задача об определении массы поверхности по известной плотности, возникают интегралы типа (1). Их часто называют интегралами от функции по поверхности или интегралами первого рода.

Определение 5. Интегралом от функции по ориентируемой поверхности называют интеграл

от дифференциальной формы где — форма объема на отвечающая выбираемой при вычислении интеграла ориентации

Ясно, что так определенный интеграл (11) не зависит от ориентации поскольку изменение ориентации сопровождается соответствующей заменой формы объема.

Подчеркнем, что в сущности здесь речь идет не об интегрировании функции, а об интегрировании формы специального вида по поверхности с определенной на ней формой объема.

Определение 6. Если — кусочногладкая (ориентируемая или неориентируемая) поверхность и — функция на то интегралом (11) от функции по поверхности называют сумму интегралов от функции по параметризуемым кускам

в определении 4 разбиения поверхности

Интеграл (11) обычно называют поверхностным интегралом первого рода.

Например, таковым является интеграл (1), выражающий массу поверхности через плотность распределения массы по поверхности.

Для выделения интегралов первого рода с их свойством независимости от ориентации, интегралы от форм по ориентированным поверхностям часто называют поверхностными интегралами второго рода.

Заметим, что, поскольку на линейном пространстве все кососимметрические формы, степень которых равна размерности пространства, пропорциональны, между любой -формой , заданной на -мерной ориентируемой поверхности и формой объема на имеется связь где — некоторая, зависящая от функция на Значит,

т. е. любой интеграл второго рода может быть записан в виде соответствующего интеграла первого рода.

Пример 1. Интеграл (2) § 1, выражающий работу поля на пути у: можно записать в виде интеграла первого рода

где — натуральный параметр на — элемент (-форма) длины, единичный вектор скорости, несущий в себе всю информацию об ориентации у. С точки зрения физического смысла решаемой интегралом (12) задачи он столь же выразителен, как и интеграл (1) § 1.

Пример 2. Поток (3), § 1 поля скоростей V через ориентированную единичными нормалями поверхность можно записать в виде поверхностного интеграла

первого рода. Информация об ориентации 5 заключена здесь в направлении поля нормалей

Геометрическое и физическое содержание подынтегрального выражения в (13) столь же прозрачно, как и соответствующий смысл подынтегрального выражения окончательной вычислительной формулы (6) § 1.

Для сведения читателя отметим, что довольно часто встречаются обозначения вводящие векторный

элемент длины и векторный элемент площади соответственно. В этих обозначениях интегралы (12), (13) имеют вид

наиболее удобный с точки зрения физической интерпретации. Для краткости скалярное произведение векторов А, В часто записывают символом

Пример 3. Закон Фарадея утверждает, что электродвижущая сила, возникающая в замкнутом проводнике Г, находящемся в переменном магнитном поле В, пропорциональна скорости изменения потока магнитного поля через ограниченную контуром. Г поверхность Пусть Е — вектор напряженности электрического поля. Точная запись закона Фарадея с учетом принятых выше обозначений может быть представлена в виде равенства

Кружок в знаке интеграла по Г—дополнительное напоминание о том, что интеграл берется по замкнутому контуру. Работу поля вдоль замкнутого контура часто называют циркуляцией поля вдоль этого контура. Так что по закону Фарадея циркуляция напряженности электрического поля, порожденного в замкнутом проводнике Г переменным магнитным полем, равна взятой с обратным знаком скорости изменения потока напряженности магнитного поля через натянутую на контур Г поверхность

Пример 4. Закон Ампера

(где В — вектор напряженности магнитного поля, вектор плотности тока, , с - размерные постоянные) утверждает, что циркуляция напряженности, порожденного электрическим током магнитного поля вдоль контура Г, пропорциональна силе тока, протекающего через ограниченную контуром Г поверхность

Мы рассмотрели интегралы первого и второго рода. Читатель мог заметить, что это терминологическое различие очень условно. Реально мы умеем интегрировать и интегрируем только дифференциальные формы. Ни от чего другого интеграл и не берется (если интеграл претендует на независимость от выбора системы координат, используемой при его вычислении).

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление