Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Векторные поля и формы в R^3.

Напомним, что в евклидовом векторном пространстве со скалярным произведением между линейными функциями и векторами имеется соответствие, состоящее в том, что каждая такая функция имеет вид , где А — вполне определенный вектор из

Если пространство еще и ориентировано, то каждая билинейная функция В: однозначно записывается в виде где В — некоторый, вполне определенный вектор из как всегда, — смешанное произведение векторов или, что то же самое, значение формы объема на этих векторах.

Таким образом, в ориентированном евклидовом векторном пространстве с каждым его вектором можно указанным способом

связать линейную или билинейную форму, а задание линейной или билинейной формы равносильно заданию соответствующего ректора в

Если в имеется скалярное произведение, то оно естественным образом возникает и в любом касательном пространстве состоящем из векторов, приложенных к точке а ориентация ориентирует каждое пространство

Значит, если в задать -форму или -форму то при перечисленных условиях это равносильно заданию в некоторого вектора соответствующего форме или вектора отвечающего форме

Следовательно, задание в некоторой области ориентированного евклидова пространства -формы или -формы равносильно заданию в соответствующего форме векторного поля А или В.

В явном виде это соответствие состоит в том, что

где

Мы видим уже знакомые нам форму работы векторного поля А и форму потока векторного поля В.,

Скалярному полю можно следующим образом сопоставить -форму и -форму в

где — элемент объема (форма объема) в ориентированном евклидовом пространстве

Ввиду соответствий операциям над формами отвечают определенные операции над векторными и скалярными полями. Это наблюдение, как мы вскоре убедимся, технически очень полезно.

Утверждение 1. Линейной комбинации форм одинаковой степени отвечает линшная комбинация соответствующих им векторных или скалярных полей.

4 Утверждение 1 очевидно. Приведем, однако, например, для -форм цолную запись доказательства:

Из доказательства видно, что можно считать функциями (не обязательно постоянными) в области задания форм и полей.

Для сокращения записи условимся, наряду с уже используемыми символами скалярное и векторное произведения векторов А и В в когда это будет удобно, обозначать соответственно через А В к

Утверждение 2. Если — векторные поля в евклидовом ориентированном пространстве то

Иными словами, внешнему произведению -форм, порожденных полями отвечает векторное произведение. этих полей, поскольку именно оно порождает получаемую в результате -форму.

В этом же смысле внешнему произведению -формы а а и -формы порожденных векторными полями А и В соответственно отвечает скалярное произведение этих полей.

Для доказательства фиксируем в ортонормированный базис и отвечающую ему декартову систему координат . В декартовых координатах

т. е.

и

т. е.

Поэтому в декартовых координатах, с учетом выражений (7) и (8), получаем

где

Координаты были использованы при доказательстве лишь для того, чтобы проще было найти вектор В соответствующей -формы. Само же равенство (5) от координат, разумеется, не зависит. Аналогично, перемножив равенства (7) и (8), получим

В декартовых координатах есть форма объема в а стоящая в скобке перед формой объема сумма попарных произведений координат векторов А и В есть скалярное произведение этих векторов в соответствующих точках области, откуда следует, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление