Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Необходимое условие потенциальности.

На языке дифференциальных форм равенство означает, что откуда вытекает, что

поскольку . Это необходимое условие потенциальности поля А.

В декартовых координатах оно имеет совсем простое выражение. Если то в декартовых координатах и при достаточной гладкости потенциала (например, непрерывность вторых частных производных) должно быть

что попросту означает равенство смешанных производных

В декартовых координатах поэтому равенство (3) и соотношения действительно в этом случае равносильны.

В случае по определению ротора , поэтому необходимое условие (3) потенциальности поля А для можно переписать в виде

что соответствует уже знакомому нам соотношению

Пример 3. Заданное в декартовых координатах пространства поле может иметь потенциал, так как, например,

Пример 4. Рассмотрим поле вида

заданное в декартовых координатах во всех точках плоскости, кроме начала координат. Необходимое условие потенциальности здесь выполнено. Однако, как мы сейчас убедимся, это поле не потенциально в области своего определения.

Таким образом, необходимое условие (3) или, в декартовых координатах, условия (3), вообще говоря, не являются достаточными для потенциальности поля.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление