Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Векторный потенциал. Точные и замкнутые формы.

Определение 6. Поле А называется векторным потенциалом поля В в области если в этой области выполняется соотношение

Если вспомнить связь между векторными полями и формами в евклидовом ориентированном пространстве а также определение ротора векторного поля, то соотношение можно

переписать в виде сие . Отсюда следует, что йогв . Таким образом, мы получаем следующее необходимое условие

которому в области должно удовлетворять поле В, чтобы оно Могло иметь векторный потенциал, т. е. чтобы оно могло быть ротором некоторого векторного поля А в этой области

Поле, удовлетворяющее условию (7), часто, особенно в физике, называют соленоидальным полем.

Пример 5. В § 1 мы выписали систему (12) уравнений Максвелла. Второе из уравнений этой системы как раз совпадает с равенством (7). Таким образом, естественно появляется желание считать магнитное поле В ротором некоторого векторного поля А — векторного потенциала поля В. Именно к такому векторному потенциалу и переходят при решении системы уравнений Максвелла.

Как видно из определений 1 и 6, вопросы о скалярном и векторном потенциале векторных полей (последний вопрос при этом мы ставили только в являются частными случаями общего вопроса о том, когда дифференциальная -форма является дифференциалом некоторой формы

Определение 7. Дифференциальная форма называется точной в области если в этой области существует такая форма что

Если форма точна в то Таким образом, условие

является необходимым условием точности формы и.

Как мы уже видели (пример 4), не всякая форма, удовлетворяющая этому условию, является Точной, поэтому вводится

Определение 8. Дифференциальная форма и называется замкнутой в области если в этой области она удовлетворяет условию

Имеет место

Теорема (лемма Пуанкаре). Если форма замкнута в шаре, то она и точна в нем.

Здесь уже речь идет о шаре в и о форме любого порядка, поэтому утверждение 2 является простейшим частным случаем этой теоремы.

Лемму Пуанкаре можно истолковать и так: необходимое условие (8) точности формы локально является и достаточным, т. е. для любой точки области, где выполнено условие (8), найдется такая ее окрестность, в которой форма точна.

В частности, если векторное поле В удовлетворяет условию (7), то из леммы Пуанкаре следует, что по крайней мере локально оно является ротором некоторого векторного поля А

Мы не останавливаемся здесь на доказательстве этой важной теоремы (желающие прочитают его в гл. XV), а предпочтем в заключение (опираясь на сведения об -формах) пояснит в общих чертах связь вопроса о точности замкнутых форм с топологией области их задания.

Пример 6. Рассмотрим плоскость с двумя выколотыми точками (рис. 95) и изображенные на рисунке их носителями пути Путь в пределах рассматриваемой области можно стянуть в точку, поэтому если в задана замкнутая форма и, то интеграл от нее по у равен нулю. Путь нельзя стянуть в точку, но, не меняя значения интеграла от формы и, этот путь можно прогомотопировать в путь Интеграл по пути очевидно, сводится к интегралу по одному циклу, обходящему по часовой стрелке точку и удвоенному интегралу по циклу, обходящему точку против часовой стрелки Если через обозначить интегралы от нашей формы и по малым окружностям, охватывающим соответственно точки и и проходимым, например, против часовой стрелки, то можно понять, что интеграл от формы и по любому замкнутому пути в области будет равен где — некоторые целые числа, указывающие, сколько раз и в каком направлении мы обошли каждую из дырок плоскости

Окружности зацепляющие служат как бы базисом, в котором любой замкнутый путь с точностью до не влияющей на интеграл гомотопии, имеет вид

Рис. 95

Величины § называют циклическими постоянными или периолами интеграла. Если область более сложная и в ней имеется штук независимых простейших циклов, то в соответствии с разложением получится, что Оказывается для любого набора чисел в такой области можно построить замкнутую -форму, которая будет иметь именно такой набор периодов (это частный случай теоремы Де Рама; см. гл. XV).

Для наглядности мы обратились к рассмотрению цлоской области, но все сказанное можно повторить и для любой области

Пример 7. В полнотории (области, ограниченной в тором) все замкнутые пути, очевидно, гомотопны сколько-то раз пробегаемой

окружности, охватывающей дырку. Эта окружность и составит здесь единственный не точечный базисный цикл с.

Более того, все сказанное можно повторить и для путей высших размерностей. Если вместо одномерных замкнутых путей — отображений окружности или, что то же самое, отображений Одномерной сферы, брать отображения -мерной сферы, ввести для них понятие гомотопии и смотреть, сколько таких негомотопных между собой отображений -мерной сферы в данную область существует, то получится некоторая характеристика области которая в топологии оформляется в так называемую гомотопическую группу области и обозначается Если все отображения -мерной сферы в гомотопны постоянному отображению, то считается, что труппа тривиальна (состоит только из одного элемента). Может так случиться, что тривиальна, не тривиальна.

Пример 8. Если в качестве взять пространство с выброшенной из него точкой О, то, очевидно, любой замкнутый путь в такой области стягивается в точку, а сферу, охватывающую выброшенную из точку О,- нельзя в пределах этой области прогомотопировать в точку.

Оказывается, за периоды замкнутой -формы ответственна не совсем гомотопическая группа а так называемая группа гомологий (см. гл. XV), но в примерах, которые мы приводим, эти группы совпадают.

Пример 9. Из сказанного можно заключить, что, например, в облдсти всякая замкнутая -форма точна односвязная область), но не всякая замкнутая -форма является точной. На языке векторных полей это означает, что любое безвихревое поле А в является градиентом некоторой функции, но не всякое поле В без источников является в этой области ротором некоторого поля. -

Пример 10. В противовес цримеру 9 возьмем в качестве области полноторие. Для полнотория группа не тривиальна (см. пример 7), а тривиальна, поскольку любое отображение двумерной сферы в стягивается в постоянное (образ сферы стягивается В этой области не всякое безвихревое поле потенциально, но всякое поле без источников является ротором некоторого поля.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление