Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Уравнение неразрывности.

Пусть — плотность некоторой материальной среды, заполняющей наблюдаемое пространство, — поле скоростей движения среды как функция точки пространства и времени

Исходя из закона сохранения количества вещества, пользуясь формулой Гаусса — Остроградского, укажем взаимосвязь этих величин.

Пусть — область в наблюдаемом пространстве, ограниченная поверхностью За промежуток времени количество вещества в области изменяется на величину

За малый промежуток времени поток вещества через поверхность в сторону внешней нормали к равен (с точностью до величине

Если в области не было источников и стоков, то в силу закона сохранения количества вещества

или в пределе при

Применяя к правой части этого равенства формулу Гаусса — Остроградского и учитывая, что — произвольная область, заключаем, что для достаточно гладких функций должно выполняться соотношение

называемое уравнением неразрывности сплошной среды.

В векторных обозначениях уравнение неразрывности запишется в виде

или, в более развернутом виде,

Если среда несжимаема (жидкость), то объемный расход среды через замкнутую поверхность должен быть нулевым:

откуда (на основании той же формулы Гаусса — Остроградского) следует, что для несжимаемой среды

Значит, для несжимаемой среды переменной плотности (вода и масло) уравнение приводится к виду

Если среда еще и однородна, то и потому

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление