Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Волновое уравнение.

Рассмотрим теперь движение среды, соответствующее распространению в ней звуковой волны. Ясно, что такое движение тоже подчиняется уравнению (14), но благодаря специфике явления это уравнение в данном случае можно упростить.

Звук есть чередующиеся состояния разрежения и уплотнения среды, причем отклонения давления от его среднего значения в звуковой волне очень малы — порядка Поэтому звуковое движение состоит в малых отклонениях элементов объема среды от положения равновесия, совершаемых с малыми скоростями. Однако скорость распространения возбуждения (волны) по среде соизмерима со средней скоростью движения молекул среды и обычно значительно превышает скорость теплообмена между различными частями рассматриваемой среды. Таким образом, звуковое движение объема газа можно рассматривать как малые колебания около положения равновесия, совершаемые без теплообмена (адиабатический процесс).

Ввиду малости самих макроскопических скоростей V, пренебрегая в уравнении движения (14) членом получаем равенство

Если по той же причине пренебречь членом вида то последнее равенство приводится к уравнению

Применив к нему оператор координатам , получим

Используя уравнение неразрывности (8) и введя обозначение приходим к уравнению

Если влиянием внешних полей можно пренебречь, то уравнение (15) сводится к соотношению

между плотностью и давлением в звучащей среде. Поскольку процесс адиабатический, уравнение состояния сводится к некоторому соотношению , из которого следует, что Ввиду малости колебания давления в звуковой волне можно считать, что где — равновесное давление. Учитывая это, из (16) получаем окончательно

где Это уравнение описывает изменение давления в среде, находящейся в состоянии звукового движения. Уравнение (17) описывает простейший волновой процесс в сплошной среде. Оно называется однородным волновым уравнением. Величина а имеет простой физический смысл; это скорость распространения звукового возбуждения в данной среде, т. е. скорость звука в ней (см. задачу 4).

В случае вынужденных колебаний, когда на каждый элемент объема среды действуют некоторые силы, объемная плотность распределения которых задана, уравнение (17) заменяется соответствующим уравнению (15) соотношением

которое при называют неоднородным волновым уравнением.

Задачи и упражненния

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление