Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Линейные отображения линейных пространств и сопряженные отображения сопряженных пространств.

Пусть линейные пространства над полем вещественных чисел (или над любым иным, но одним и тем же для полем) и пусть — линейное отображение X в У, т. е. для любых и любого числа выполнено

Линейное отображение естественным образом порождает сопряженное с ним отображение I: множества заданных на полилинейных форм в аналогичное множество Если -форма на К, то по определению

Из (24) и (25) видно, что есть -форма на пространстве X, т. е. Более того, если форма была кососимметрической, то форма тоже кососимметрическая, т. е. Отображение I в пределах каждого линейного пространства или , очевидно, линейно, т. е.

Сопоставляя теперь определение (25) с определениями (5), тензорного произведения, альтернирования и внешнего произведения форм, заключаем, что

Пример 5. Пусть — базис в — базис в Если -форма в базисе имеет координатное представление

где

где с, поскольку

Пример 6. Пусть — базисы сопряженных пространств взаимные (или сопряженные) с указанными в примере 5 базисами пространств X и соответственно. В условиях примера 5 получаем

Пример 7. Сохраняя обозначения примера 6 и учитывая соотношения (22), (29), теперь получаем

Принимая во внимание равенства (26), отсюда можно сделать вывод, что вообще

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление